完食とは出されたラーメンをスープまで残さず食べきること。

スープを一滴も残さずラーメンを食べきること完食と言います。ラーメンに限らず、料理を残さず食べ終えるということが完食の定義になっています。辞書のような定義で表現すると、対象とする食べ物について目標の量や種類を完全に食べきることといった言い回しになります。ちなみに、完食は英語ではateが使われます。eatの過去形ですね。

出典：フォト蔵

完食というキーワードは、大量の料理を食べきる速度を競う大食いのバラエティ番組（テレビチャンピオンなど）から普及し始めたと言われていますが、最初はネットで誰かが言い出して普及し始めた言葉なんじゃないでしょうか？
完食という言い方が普及し始めたのは調べたところ1995年ごろからですから、ネット創世記の時代と被っています。当時は「完食」という言葉は存在しなかったはずで、ネットの掲示板で使われたことをキッカケに徐々に広がっていったのだと思います。

もともと完食の「完」は、動作を表す言葉の前につけて使う漢字で、既存の熟語である完走、完泳、完納、完済も完＋動作という構造で作られています。完食という造語も、これらの既存熟語と同じ構造だったので、違和感なく普及していったのでしょうね。

なお、完食というワードが人口に膾炙した背景には、やはりTVの影響が欠かせません。TV局が安価に製作でき、視聴率も高い「食」の番組を増やしてきたので、TVでよく出てくる言葉として広がっていったのだと思われます。

今では完食の使われ方にも幅が出ている

「小中学校で教員に給食の完食を指導されたことがきっかけで不登校や体調不良になった」というような文脈、つまり、教師に無理やり給食を完食させられて体調を崩したようなシーンで完食というキーワードが使われるケースが見られます。

出典：ゆーたdailly

また、完食の美学のようにブログ名にも使われたり、ご飯つくりすぎ子と完食系男子のようにマンガ名にも使われたり、かなり日常用語として浸透してきていますね。
本来の使われ方とはやや異なる気もしますが、それだけ一般用語として定着していることの証でもあるんでしょうね。